Loi d'un produit
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit
une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.
Soit
une variable aléatoire, indépendante de
,
et telle que
et
.
Montrer que
a la même loi que
.
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/1.png)
![$Y$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/2.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/3.png)
![$P(Y=1)=p$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/4.png)
![$P(Y=-1)=1-p$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/5.png)
Montrer que
![$Z=XY$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/6.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod/7.png)
Correction
, soit
Comme
ne peut prendre que deux valeurs,
on peut utiliser la formule des probabilités totales:
et, par indépendance des variables
![\[F_Z(x)=p\,P(Y\leq x)+(1-p)\,P(-Y\leq x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/5.png)
et donc, avec
la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite
![\[\begin{array}{ll}
F_Z(x)
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,P(Y\geq -x)\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,(1-\Phi(-x))\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,\Phi(x)\\[.5em]
&=\Phi(x)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/7.png)
Ainsi,
et donc
suit aussi la loi normale centrée réduite.
Correction
On cherche la fonction de répartition de la variable![$Z=XY$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/1.png)
![\[F_Z(x)=P(Z\leq x)=P(XY\leq x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/2.png)
![$Y$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/3.png)
![\[\begin{array}{ll}
F_Z(x)&=P(XY\leq x)\\[.5em]
&=P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=1)\bigr)
+P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)\\[.5em]
&=P\bigl((Y\leq x)\cap(Y=1)\bigr)
+P\bigl((-Y\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/4.png)
![\[F_Z(x)=p\,P(Y\leq x)+(1-p)\,P(-Y\leq x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/5.png)
et donc, avec
![$\Phi$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/6.png)
![\[\begin{array}{ll}
F_Z(x)
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,P(Y\geq -x)\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,(1-\Phi(-x))\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,\Phi(x)\\[.5em]
&=\Phi(x)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/7.png)
Ainsi,
![$F_Z=\Phi$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/8.png)
![$Z$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/prprod_c/9.png)
Tag:Variables aléatoires continues
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