Loi d'un produit

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

Soit

une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Soit

une variable aléatoire, indépendante de

, et telle que

.
Montrer que

a la même loi que

Correction

On cherche la fonction de répartition de la variable

, soit

$F_Z(x)=P(Z\leq x)=P(XY\leq x)$

Comme

ne peut prendre que deux valeurs, on peut utiliser la formule des probabilités totales:

$\begin{array}{ll} F_Z(x)&=P(XY\leq x)\\[.5em] &=P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=1)\bigr) +P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)\\[.5em] &=P\bigl((Y\leq x)\cap(Y=1)\bigr) +P\bigl((-Y\leq x)\cap(Y=-1)\bigr) \enar$

et, par indépendance des variables

$F_Z(x)=p\,P(Y\leq x)+(1-p)\,P(-Y\leq x)$

et donc, avec $\Phi$ la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite

$\begin{array}{ll} F_Z(x) &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,P(Y\geq -x)\\[.5em] &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,(1-\Phi(-x))\\[.5em] &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,\Phi(x)\\[.5em] &=\Phi(x) \enar$

Ainsi, $F_Z=\Phi$ et donc

suit aussi la loi normale centrée réduite.

Tag:Variables aléatoires continues

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