Pannes multiples sur une machine - loi exponentielle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes.
On considère les variables aléatoires et définies par:
est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la machine et la première panne.
(resp. ), est le temps, en heures, écoulé entre la remise en route de la machine après la première (resp.
la deuxième) panne et la panne suivante. On suppose que les variables aléatoires et sont indépendantes
et suivent la même loi exponentielle de paramètre 1/2.
- Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives?
- Soit l'événement: "chacune des 3 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures". Calculer .
- Soit la variable aléatoire égale à la plus grande des 3 durées de fonctionnement de la machine sans interruption.
- Calculer pour tout .
- Déterminer une densité de .
- Pour , calculer
- Démontrer que la variable aléatoire admet une espérance, dont on calculera, en heures et minutes, la valeur.
Correction
Correction
- La durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives est l'espérance (commune) des variables aléatoires , et , c'est-à-dire .
- L'événement s'écrit : . Les variables aléatoires , et étant indépendantes,
on a . Or,
On en conclut que . -
- On a
et donc .
Par indépendance des 3 variables aléatoires, on en déduit que
Ainsi, si , . Si , alors
- La quantité calculée à la question précédente est la fonction
de répartition de .
Elle est est continue sur et sur . On en déduit que admet une densité définie sur par , soit
- À l'aide d'une intégration par parties, on trouve que
En faisant tendre vers , on trouve finalement que
- Pour tout ,
et, lorsque tend vers et d'après la question précédente, on obtient que l'intégrale converge, et vaut
La durée maximale moyenne de fonctionnement entre deux pannes est 3h40min.
- On a
et donc .
Tag:Variables aléatoires continues
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