Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
-
Démontrer que pour tout
, on a
- On pose
Démontrer que
En déduire queconverge et déterminer sa limite.
Correction
Correction
- Applique le théorème des accroissements finis à la fonction
sur l'intervalle
: il existe
tel que
On conclut car
- On applique l'inégalité précédente pour
,
,
jusque
. On somme ces inégalités et on obtient, en ne gardant que l'inégalité de gauche:
On applique ensuite l'inégalité précédente pour,
jusque
et on ne garde cette fois que l'inégalité de droite et on obtient
Ceci se réécrit encore en
Par le théorème des gendarmes, on en déduit queconverge vers
.
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