Calculer l'intégrale
Colle de mathématiques
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Énoncé du sujet
Calculer l'intégrale

Correction
.
On peut penser soit à une (deux en fait) intégration par parties, soit à utiliser les complexes.
IPP: On dérive par exemple l'exponentielle et intègre le cosinus:
![\[I=\dsp\underbrace{\left[ e^x\dfrac{\sin(2x)}2\rb_0^\pi}_{=0}-\int_0^\pi e^x\dfrac{\sin(2x)}2\,dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/2.png)
puis, en intégrant une nouvelle fois par parties, en dérivant à nouveau l'exponentielle et intégrant le sinus,
![\[\begin{array}{ll}
I&=\dsp\left[ e^x\dfrac{\cos(2x)}4\rb_0^\pi-\int_0^\pi e^x\dfrac{\cos(2x)}4\,dx\\[1.2em]
&=\dfrac14\left( e^\pi-1\rp-\dfrac14 I\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/3.png)
On en déduit que
![\[I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/4.png)
Complexes: On a
et donc
![\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^xe^{2ix}\,dx\rp\\[1.2em]
&=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^{x(1+2i)}\,dx\rp\\[1.2em]
&=\dsp\Re e\lp\dfrac1{1+2i}\left[ e^{x(1+2i)}\rb_0^\pi\right) \\[1.4em]
&=\dsp\Re e\lp\dfrac{1-2i}5\lp e^{\pi(1+2i)}-1\rp\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/6.png)
or
et donc
![\[I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/8.png)
Correction
Soit
On peut penser soit à une (deux en fait) intégration par parties, soit à utiliser les complexes.
IPP: On dérive par exemple l'exponentielle et intègre le cosinus:
![\[I=\dsp\underbrace{\left[ e^x\dfrac{\sin(2x)}2\rb_0^\pi}_{=0}-\int_0^\pi e^x\dfrac{\sin(2x)}2\,dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/2.png)
puis, en intégrant une nouvelle fois par parties, en dérivant à nouveau l'exponentielle et intégrant le sinus,
![\[\begin{array}{ll}
I&=\dsp\left[ e^x\dfrac{\cos(2x)}4\rb_0^\pi-\int_0^\pi e^x\dfrac{\cos(2x)}4\,dx\\[1.2em]
&=\dfrac14\left( e^\pi-1\rp-\dfrac14 I\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/3.png)
On en déduit que
![\[I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/4.png)
Complexes: On a

![\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^xe^{2ix}\,dx\rp\\[1.2em]
&=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^{x(1+2i)}\,dx\rp\\[1.2em]
&=\dsp\Re e\lp\dfrac1{1+2i}\left[ e^{x(1+2i)}\rb_0^\pi\right) \\[1.4em]
&=\dsp\Re e\lp\dfrac{1-2i}5\lp e^{\pi(1+2i)}-1\rp\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/6.png)
or

![\[I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC9_c/8.png)
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