Calculer l'intégrale

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Énoncé du sujet

Calculer l'intégrale $\dsp\int_0^\pi e^x\cos(2x)\,dx$

Correction

Soit $I=\dsp\int_0^\pi e^x\cos(2x)\,dx$ .
On peut penser soit à une (deux en fait) intégration par parties, soit à utiliser les complexes.

IPP: On dérive par exemple l'exponentielle et intègre le cosinus:

$I=\dsp\underbrace{\left[ e^x\dfrac{\sin(2x)}2\rb_0^\pi}_{=0}-\int_0^\pi e^x\dfrac{\sin(2x)}2\,dx$

puis, en intégrant une nouvelle fois par parties, en dérivant à nouveau l'exponentielle et intégrant le sinus,

$\begin{array}{ll} I&=\dsp\left[ e^x\dfrac{\cos(2x)}4\rb_0^\pi-\int_0^\pi e^x\dfrac{\cos(2x)}4\,dx\\[1.2em] &=\dfrac14\left( e^\pi-1\rp-\dfrac14 I\enar$

On en déduit que

$I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp$

Complexes: On a $\cos(2x)=\Re e\left( e^{2ix}\rp$ et donc

$\begin{array}{ll}I&=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^xe^{2ix}\,dx\rp\\[1.2em] &=\dsp\Re e\lp\int_0^\pi e^{x(1+2i)}\,dx\rp\\[1.2em] &=\dsp\Re e\lp\dfrac1{1+2i}\left[ e^{x(1+2i)}\rb_0^\pi\right) \\[1.4em] &=\dsp\Re e\lp\dfrac{1-2i}5\lp e^{\pi(1+2i)}-1\rp\rp \enar$

or $e^{\pi(1+2i)}=e^\pi e^{2i\pi}=e^\pi$ et donc

$I=\dfrac15\left( e^\pi-1\rp$

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