Application linéaire ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que
est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.
Déterminer son noyau et son image.
Correction
Ainsi, est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de , donc .
Soit . Alors on a:
On en déduit que et que, pour tout entier , .
Ainsi, pour , et étant quelconque.
On en déduit que .
D'autre part, soit , avec . Alors, il existe tel que soit, d'après le calcul précédent,
On en déduit et donc .
Réciproquement, soit un élément de , c'est-à-dire un polynôme sans terme en . Alors, si on pose , , et , le calcul précédent montre que et donc .
Ainsi, .
L'image et le noyau de sont de plus ici supplémentaires.
Correction
Soit et . AlorsAinsi, est bien une application linéaire.
On s'intéresse au noyau de , donc .
Soit . Alors on a:
On en déduit que et que, pour tout entier , .
Ainsi, pour , et étant quelconque.
On en déduit que .
D'autre part, soit , avec . Alors, il existe tel que soit, d'après le calcul précédent,
On en déduit et donc .
Réciproquement, soit un élément de , c'est-à-dire un polynôme sans terme en . Alors, si on pose , , et , le calcul précédent montre que et donc .
Ainsi, .
L'image et le noyau de sont de plus ici supplémentaires.
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