Application linéaire ? Noyau et image ?

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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PolynômePolynômes

Énoncé du sujet

Montrer que $f:\la\begin{array}{ll}\R[X]\to \R[X] \\[.4em] P\mapsto P-XP'\enar\right.$ est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.

Correction

Soit $P,Q\in\R[X]$ et $\lambda\in\R$ . Alors

$\begin{array}{lcl} f(\lambda P+Q)&=&(\lambda P+Q)-X(\lambda P+Q)'\\ &=&\lambda P+Q-X(\lambda P'+Q')\\ &=&\lambda (P-XP')+Q-XQ'=\lambda f(P)+ f(Q). \enar$

Ainsi,

est bien une application linéaire.

On s'intéresse au noyau de

, donc $P\in\ker(f)\iff P-XP'=0$ .
Soit $P(X)=\dsp\sum_{k=0}^n a_k X^k$ . Alors on a:

$f(P)=P-XP'=\sum_{k=1}^n (a_k-k a_{k})X^k +a_0$

On en déduit que

et que, pour tout entier $1\leqslant k\leqslant n$ ,

.
Ainsi,

pour $k\neq 1$ , et $a_1\in\R$ étant quelconque.
On en déduit que $\ker(f)=\text{Vect}(X)$ .

D'autre part, soit $Q\in\text{Im}(f)$ , avec $\displaystyle Q=\sum_{k=0}^m b_k X^k$ . Alors, il existe $\displaystyle P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ tel que