Déterminer les polynômes tels que … (ter) et le décomposer en produits de polynômes irréductibles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Déterminer un polynôme
de degré 4 qui admet 2 comme racine double
et tel que
,
et
.
Décomposer alors
en produit de polynômes irréductibles
de
puis de
.




Décomposer alors

![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/6.png)
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3/7.png)
Correction
,
donc
.
De plus,
et donc
.
En résumé, on obtient le système linéaire
![\[\la\begin{array}{rcrcrcrcr}
a&+&b&+&c&=&5 \\
&&b&-&c&=&0 \\
4a&-&4b&+&c&=&-2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/7.png)
qui est équivalent à
et
.
On trouve donc l'unique polynôme
On a, en calculant son discriminant ou en à l'aide de sa forme canonique:
ce qui montre que
est irréductible dans
, tandis que dans
,
et donc
![\[\begin{array}{ll}P(X)&=(X-2)^2(X^2+2X+2)\\[.4em]
&=(X-2)^2(X+1-i)(X+1+i)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/16.png)
Correction
2 est une racine double de

De plus,

![$\begin{array}{ll}\bullet &P(X)=(X^2-4X+4)(aX^2+bX+c)\\[.4em]
&=aX^4+(-4a+b)X^3+(4a-4b+c)X^2+(4b-4c)X+4c\enar$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/4.png)
et donc


En résumé, on obtient le système linéaire
![\[\la\begin{array}{rcrcrcrcr}
a&+&b&+&c&=&5 \\
&&b&-&c&=&0 \\
4a&-&4b&+&c&=&-2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/7.png)
qui est équivalent à


On trouve donc l'unique polynôme

On a, en calculant son discriminant ou en à l'aide de sa forme canonique:


![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/13.png)
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/14.png)

![\[\begin{array}{ll}P(X)&=(X-2)^2(X^2+2X+2)\\[.4em]
&=(X-2)^2(X+1-i)(X+1+i)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP3_c/16.png)
Tags:PolynômeComplexes
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