Simplification d'une fonction avec arctans

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Étudier la fonction

définie sur $\R^*$ par $f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x$ .

Correction

On a $arctan'x=\dfrac{1}{1+x^2}$ et, avec $u=\dfrac1x$ , $u'=-\dfrac{1}{x^2}$ , $\lp\arctan u\rp'=u'\dfrac{1}{1+u^2}$ , et donc

$\begin{array}{ll} f'(x) &=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\ &=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0 \enar$

Ainsi

est constante, et, comme $f(1)=2\arctan(1)=\dfrac\pi2$ , on a, pour tout $x\not=0$ ,

$f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2$

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