Simplification d'une fonction avec arctans
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Étudier la fonction
définie sur
par
.



Correction
et, avec
,
,
,
et donc
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/5.png)
Ainsi
est constante, et,
comme
,
on a, pour tout
,
![\[f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/9.png)
Correction
On a



![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/5.png)
Ainsi



![\[f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/9.png)
Tag:Dérivée
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