Endomorphisme de polynômes


oral HEC, BL - 2022.

On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions $e_1$, $e_1$, $e_2$ par:
\[e_0(t) = 1 ,\ e_1(t) = t , \  e_2 (t) = t^2\]

pour tout réel $t$.
On rappelle que la famille $(e_0, e_1, e_2)$ est une base de $E$. On considère l'application $\varphi$ qui, à toute fonction $P$ de $E$, associe la fonction, notée $\varphi(P)$, définie par:
\[\forall x\in\R,
\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)dt\]

  1. Question de cours : Critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire.
  2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
    1. Écrire la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base $(e_0, e_1, e_2)$.
    2. Justifier que $\varphi$ est un automorphisme de $E$.
    3. L'endomorphisme $\varphi$ est-il diagonalisable?
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un réel $u_n$ tel que:
      \[A^n=\lp\begin{array}{ccc}1&\frac{n}2&u_n\\0&1&n\\0&0&1\enar\rp\]

    2. En déduire, par sommation, l'expression de $u_n$ pour tout entier $n$.

Correction


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