Matrice inversible ? diagonalisable ?


Colle de mathématiques

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La matrice $A=\lp\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\rp$ est-elle inversible ? diagonalisable ?


Correction

Correction

$\det A=\left|\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&2&1\\0&1&0\enar\right| =-1\not=0$ donc $A$ est inversible.
Le polynôme caractéristique de $A$ est:
\[\begin{array}{ll} \chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right) &=\left|\begin{array}{ccc} 1-X&0&1\\0&2-X&1\\0&1&-X\enar\right| \\ &=(1-X)\Bigl(-X(2-X)-1\Bigr)\\[.5em] &=(1-X)\left( X^2-2X-1\right) \enar\]

or le trinôme du second degré $X^2-2X-1$ admet pour discriminant $\delta=8>0$ et donc admet deux racines rélles distinctes. $A$ est donc diagonalisable.


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