Suite récurrente et fonction logarithme


Colle de mathématiques

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Soit $u$ la suite définie par son premier terme $u_0\geq 1$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie par l'expression $f(x)=1+\ln(x)$.
  1. Démontrer que la suite est bien définie et qu'elle est minorée par 1.
  2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[1,+\infty[$.
  3. Étudier la monotonie de $u$.
  4. En déduire que $(u_n)$ est convergente, et donner sa limite.



Correction

Correction

  1. On démontre cette propriété par récurrence: soit pour $n\in\N$, la propriété $P(n)$: "$u_n\geq 1$". Démontrer ces propriétés montrera par la même occasion que la suite $u$ est bien définie puisque $\ln\left( u_n\rp$ sera alors bien défini.

    Initialisation: on sait d'après l'énoncé que $u_0\geq1$, ce qui est exactement la propriété $P_0$.
    Hérédité: soit $n\in\N$ tel que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire tel que $u_n\geq 1$.
    On a alors, puisque la fonction logarithme est croissante, $\ln(u_n)\geq\ln(1)=0$, et donc $u_{n+1}=1+\ln(u_n)\geq1+0=1$.
    Ainsi, $P(n+1)$ est encore vraie.

    Conclusion: d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.
  2. On pose $g(x)=f(x)-x=1+\ln(x)-x$. Pour trouver le signe de $g(x)$ on peut penser à étudier la fonction.
    La fonction $g$ est dérivable sur $[1,+\infty[$, avec $g'(x)=\dfrac1x-1$.
    Pour $x>1$, on a $\frac1x<1$ et donc $g'(x)>0$, et donc $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[1,+\infty[$.
    Puisque $g(1)=1+\ln(1)-1=0$, on en déduit que $g(x)\leqslant0$ pour tout $x\geqslant1$. Ainsi, on a $f(x)\leqslant x$ pour tout $x\geqslant1$.
  3. Pour totu entier $n$, puisque $u_n\geqslant1$, on a alors que $u_{n+1}=f(u_n)\leqslant u_n$, ce qui montre que la suite $u$ est décroissante.
  4. La suite est décroissante et minorée par 1, et elle est donc convergente vers une limite $l$ qui vérifie de plus l'équation $l=f(l)$.
    On a de plus, comme $u_n\geqslant 1$ pour tout $n$, $l\geqslant1$.
    D'après la question précédent, on a vu que $f(x)<x$ pour tout $x>1$. Donc si $l>1$, on a $l=f(l)<l$ ce qui est impossible. On doit donc nécessairement avoir $l=1$


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