Déterminer les polynômes tels que …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Déterminer les polyômes
de
tels que
.
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1/1.png)
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1/2.png)
![$P\left( X^2\rp=\left( X^2+1\rp P(X)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1/3.png)
Correction
un polynôme solution, alors
,
et donc,
.
Ainsi,
et alors
![\[\begin{array}{rll}
P(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\
(X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/5.png)
On en déduit que
, puis que
. Les solutions sont donc les polynômes
,
.
Correction
Soit![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/1.png)
![$2\deg(P)=\deg(P)+2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/2.png)
![$\deg(P)=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/3.png)
Ainsi,
![$P(X)=aX^2+bX+c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/4.png)
![\[\begin{array}{rll}
P(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\
(X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/5.png)
On en déduit que
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/6.png)
![$a+c=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/7.png)
![$P(X)=a(X^2-1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/8.png)
![$a\in\mathbb R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP1_c/9.png)
Tag:Polynôme
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)