Endomorphisme défini par l'image de la base canonique


Colle de mathématiques

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Soit $E=\R^3$. On note ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonique de $E$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par la donnée des images des vecteurs de la base :
\[\begin{array}{lcl}f(e_1) &=& -2e_1 +2e_3 \\ f(e_2)&=&3e_2 \\ f(e_3)&=&-4e_1 + 4e_3\enar\]

  1. Déterminer une base de $\ker(f)$.
    $f$ est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
  2. Déterminer une base de $\text{Im}(f)$. Quel est le rang de $f$ ?
  3. Montrer que $E=\ker(f)\bigoplus \textrm{Im}(f)$.



Correction

Correction

  1. On commence par chercher l'expression de $f(x,y,z)$.
    On décompose les vecteurs de $E$ sur la base canonique: $u=xe_1+ye_2+ze_3$ et alors, par linéarité de $f$
    \[\begin{array}{ll}f(x,y,z)&=f(xe_1+ye_2+ze_3)\\[.4em]&=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)\\[.4em] &=x\lp-2e_1+2e_3\rp+y\lp3e_2\rp+z\lp-4e_1+4e_3\rp\\[.4em] &=(-2x-4y)e_1+3ye_2+(2x+4z)e_3\enar\]

    soit donc
    \[f(x,y,z)=(-2x-4z,3y,2x+4z)\]

    On a donc
    \[\begin{array}{ll}&(x,y,z)\in\ker(f)\\[.4em]\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} -2x-4z&=&0\\ 3y&=&0\\ 2x+4z&=&0\\ \end{array} \right.\\[1.8em] \iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-2z\\ y&=&0\\ z&=&z \end{array}\right.\enar\]

    Soit $u=(-2,0,1)$, alors on a ainsi trouvé que $\ker(f)=\text{Vect}(u)$ et que le vecteur $u$ est une base de $\ker(f)$.
    De plus, comme $\ker(f)$ n'est pas réduit au vecteur nul, l'endomorphisme $f$ n'est pas injectif. Enfin, comme $f$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, il n'est pas non plus surjectif, car on a alors l'équivalence
    \[f\text{ injectif}\iff f\text{ surjectif}\iff f\text{ bijectif}\]


  2. D'après le théorème du rang,
    \[\text{rg}(f)+\text{dim(Ker}(f))=\text{dim}(E)=3\]

    et donc, comme on a vu $\text{dim(Ker}(f))=1$, on en déduit donc que $\text{rg}(f)=\text{Im(dim}(f))=2$ c'est-à-dire que $\text{Im}(f)$ est de dimension 2.
    On sait aussi que $\big(f(e_1),f(e_2),f(e_3)\big)$ est une famille génératrice de $\text{Im}u$. Il suffit donc d'en extraire une famille libre à deux éléments.
    Par exemple $\big(f(e_1),f(e_2)\big)$ est une telle famille, libre car ces deux becteurs ne sont pas colinéaires. C'est donc une base de $\text{Im}(f)$ qui est de rang 2.
  3. Il suffit par exemple de montrer que la réunion d'une base de $\ker(f)$ et d'une base de $\text{Im}(f)$ est une base de $E$. Autrement dit, avec les résultats précédents, il suffit de montrer que la famille
    \[\big(u,f(e_1),f(e_2)\bigl)=\big(-2,0,1),(-2,0,2),(0,3,0)\big)\]

    est une famille libre.
    Soit donc trois réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tel que
    \[\begin{array}{ll}&\alpha u+\beta f(e_1)+\gamma f(e_2)=0\\[.4em] \iff&\la\begin{array}{rcrcrlcl} -2\alpha&-&2\beta&&&=&0\\ &&&&3\gamma&=&0\\ \alpha&+&2\beta&&&=&0 \enar\right.\\ \iff& \alpha=\beta=\gamma=0 \enar\]

    ce qui montre que cette famille est donc bien libre et donc une base de $E$, et donc finalement que $E=\ker(f)\bigoplus \textrm{Im}(f)$.


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