Application linéaire ? Noyau et image ?


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

L'application $f:\R^2\to\R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0)$ est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?


Correction

Correction

Soit $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ dans $\R^2$, et $\lambda\in\R$. Alors :
\[\begin{array}{lcl} f(u+v)&=&\big( (x+x')+(y+y'),(x+x')-2(y+y'),0)\\[.4em] &=&\big(x+y,x-2y,0)+(x'+y',x'-2y',0)\\[.4em] &=&f(u)+f(v). \enar\]

De même,
\[\begin{array}{lcl} f(\lambda u)&=&(\lambda x+\lambda y,\lambda x+2\lambda y,0)\\[.4em] &=&\lambda(x+y,x+2y,0)\\[.4em] &=&\lambda f(u). \enar\]

$f$ est donc une application linéaire.
De plus, soit
\[\begin{array}{ll} u(x,y)\in\text{Ker}(u) &\iff f(u)=0\\[.4em] &\iff\la\begin{array}{lcl} x+y &=& 0\\ x-2y&=&0 \\0=0 \enar\right. \\ &\iff x=y=0 \enar\]

Ainsi, $\text{Ker}(f)=\bigl{(0,0)\bigr}$: le noyau de $f$ est réduit au vecteur nul et $f$ est injective.

Le théorème du rang nous fournit que $\text{dim}\lp\R^2\rp=\text{dim}\lp\text{Ker}(f)\rp+\text{dim}\lp\text{Im}(f)\rp$ et donc que $\text{rg}(f)=\text{dim}\lp\text{Im}(f)\rp=2$.
Plus précisément, Soit $v\lp\alpha,\beta,\gamma\rp\in\text{Im}(f)$, alors il existe $u(x,y)$ tel que $f(u)=v$,
\[\la\begin{array}{ll} \alpha=x+y\\ \beta=x-2y\\ \gamma=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\ y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\ \gamma=0\enar\right. \enar\]

Ainsi, tout $v\lp\alpha,\beta,0\rp\in\text{Im}(f)$ et donc $\text{Im}(f)=\text{Vect}\left( e_1,e_2\rp$ où $e_1=(1,0,0)$ et $e_2=(0,0,1)$ sont les deux premiers vecteurs de la base canonique de $\R^3$.

$f$ n'est donc pas surjective, donc pas non plus bijective (ce qui était clair dès le début car $f:\R^2\to\R^3$ et $\text{dim}\lp\R^2\rp=2\not=\text{dim}\lp\R^3\rp=3$ ou avec le théorème du rang).


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