Logarithme, encadrements et convergence d'une somme

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Montrer que pour tout , $\ln(1+u)\leqslant u$ .
En déduire que, pour , $\ln\dfrac{x+1}x\leqslant\dfrac1x\leqslant\ln\dfrac{x}{x-1}$ .
Quelle est la nature de la suite définie par $u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}$ ?

Correction

Il suffit d'étudier la fonction $f:u\mapsto\ln(1+u)-u$ , qui est bien définie est dérivable sur $]-1;+\infty[$ , et pour laquelle $f'(u)=\dfrac1{1+u}-1=-\dfrac{u}{1+u}$ . Le tableau de variation de montre alors un maximum en et qui vaut .
Ainsi, pour , on a $f(u)<0\iff\ln(1+u)<u$ .

On va utiliser deux fois ce résultat.
Avec $u=\dfrac1x$ , on a donc d'une part $\ln(1+u)=\ln\lp1+\dfrac1x\rp=\ln\dfrac{x+1}x\leqslant u=\dfrac1x$ , et d'autre part avec $u=-\dfrac1x>-1$ $\ln\dfrac{x}{x-1}=-\ln\dfrac{x-1}x=-\ln\lp1-\dfrac1x\rp=-\ln\lp1+u\rp$ On a donc $\ln(1+u)<u\iff\ln\lp1-\dfrac1x\rp<-\dfrac1x$ d'où l'inégalité de droite recherchée.
On utilise l'encadrement précédent, avec ,

$\ln\dfrac{n+k+1}{n+k}\leqslant\dfrac1{n+1}\leqslant\ln\dfrac{n+k}{n+k-1}$

On somme ensuite ces inégalités. Le terme de gauche est télescopique:

$\sum_{k=1}^n\ln\dfrac{n+k+1}{n+k} =\sum_{k=1}^n\ln(n+k+1)-\ln(n+k) =\ln(2n+1)-\ln(n+1) =\ln\dfrac{2n+1}{n+1}$

De même, pour le terme de gauche, on obtient

$\sum_{k=1}^n\ln\dfrac{n+k}{n+k-1}=\ln\dfrac{2n}n=\ln2$

On a ainsi obetnu l'encadrement

$\ln\dfrac{2n+1}{n+1}\leqslant\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}\leqslant\ln2$

Maintenant, comme $\ln\dfrac{2n+1}{n+1}\longrightarrow\ln2$ , on a, grâce au théorème des gendarmes, que $u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}\longrightarrow2$ .

Tag:Sommes

Autres sujets au hasard:

Voir aussi: