Formule de Taylor-Young avec reste intégral - Énoncé et démonstration


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Énoncer et démontrer la formule de Taylor-Young avec reste intégral.


Correction

Correction

Théorème: Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur $[a;b]$, alors
\[\begin{array}{ll} f(b)&\dsp=f(a)+(b-a)f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\dots+ \dfrac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+ \int_a^b\dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt \\[1em] &\dsp=f(a)+\sum_{k=1}^n\dfrac{(b-a)^k}{k!} +\int_a^b\dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt \enar\]


Démonstration:
On peut démontrer cette formule par récurrence en intégrant par parties le reste intégral:
\[\int_a^b u'v=\bigl[ uv\bigr]_a^b-\int_a^buv'\]

avec $u'=(b-t)^k$ donc $u=-\dfrac{(b-t)^{k+1}}{k+1}$, et $v=f^{(k+1)}$ donc $v'=f^{(k+2)}$ ce qui donne la formule:
\[\begin{array}{ll} \dsp\int_a^b\dfrac{(b-t)^k}{k!}f^{(k+1)}(t)\,dt &\dsp=\left[ -\dfrac{(b-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+1)}(t) \rb_a^b -\int_a^b -\dfrac{(b-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+2)}(t) \\[1.4em] &\dsp=\dfrac{(b-a)^{k+1}}{(k+1)!} +\int_a^b \dfrac{(b-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+2)}(t) \enar\]


Ainsi, soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur $[a;b]$.
Initialisation: pour $k=0$ la formule correspond à la définition de l'intégrale:
\[\int_a^b \dfrac{(b-t)^0}{0!}f^{(1)}(t)\,dt =\int_a^bf'(t)\,dt=f(b)-f(a)\]

soit exactement
\[f(b)=f(a)+\int_a^b \dfrac{(b-t)^0}{0!}f^{(1)}(t)\,dt\]

et la formule est donc vraie.

Hérédité: Supposons maintenant que la formule soit vraie à un rang $k$:
\[f(b)=f(a)+\sum_{p=1}^k\dfrac{(b-a)^p}{p!} +\int_a^b\dfrac{(b-t)^p}{p!}f^{(n+1)}(t)\,dt \]

On a alors, en utilisant la formule obtenue en intégrant par parties:
\[f(b)=f(a)+\sum_{p=1}^k\dfrac{(b-a)^p}{p!} +\dfrac{(b-a)^{k+1}}{(k+1)!} +\int_a^b \dfrac{(b-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+2)}(t) \]

et la formule est encore vrie au rang suivant $k+1$.

Conclusion: D'après le principe de récurrence, la formule de Taylor-Young avec reste intégral est donc vraie pour tout entier $k$, tant que $f^{(k+1)}$ existe sur $[a;b]$, en particulier, elle est vraie au rang $n$ car $f$ est supposée de classe $C^{n+1}$.


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