Somme directe des noyau et image d'endomorphismes définis par compositions circulaires

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Énoncé du sujet

Soit

trois endomorphismes d'un même espace vectoriel

tels que $f\circ g=h$ , $g\circ h=f$ et $h\circ f=g$ . On note $f^n=f\circ f\circ\dots\circ f$ .
Montrer que

puis que

.
Prouvez alors que $E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)$ .

Correction

On a

$\begin{array}{ll} f^2&=f\circ f\\ &=\left( g\circ h\rp\circ f\\ &=g\circ\left( h\circ f\rp\\ &=g\circ g=g^2 \enar$

En permuttant circulairement, on a de même

et donc

.

On a alors

$\begin{array}{ll} g^5&=g^3\circ g^2\\ &=g^3\circ h^2\\ &=g^2\circ\left( g\circ h\rp\circ h\\ &=g^2\circ f\circ h\\ &=h^2\circ f\circ h\\ &=h\circ\left( h\circ f\rp\circ h\\ &=h\circ g\circ h\\ &=h\circ f\\ &=g \enar$

D'après la relation précédente, on a pour tout $x\in E$ ,

soit $g(x)-g^5(x)=g\bigr(x-g^4(x)\bigl)=0$ , c'est-à-dire que pour tout $x\in E$ , $x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$ .
Ceci nous incite à regarder la décomposition de tout vecteur

selon $x=\left( x-g^4(x)\rp+g^4(x)=y+z$ , où comme on l'a vu (et fait exprès) $y=x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$ et $z=g^4(x)=g\bigl(g^3(x)\bigr)\in\text{Im}(g)$ .
Cette décomposition montre donc que $E=\text{Ker}(g)+\text{Im}(g)$ .

De plus, soit $x\in\text{Ker}(g)\cap\text{Im}(g)$ , alors d'une part