Fonction et sommes composées avec arctan
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- SommesSommes des termes d'une suite
Énoncé du sujet
Montrer que, pour tout
,
.
En déduire une expression de
puis
.


En déduire une expression de


Correction
,
et
.
et
sont dérivables sur
,
avec
![\[f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^3}}{1+\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp^2}
=-\dfrac{-4x}{4x^4+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/7.png)
et
![\[\begin{array}{ll}
g'(x)&=\dfrac{\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}}{1+\lp\dfrac{x}{x+1}\rp^2}
-\dfrac{\dfrac{x-(x-1)}{x^2}}{1+\lp\dfrac{x-1}{x}\rp^2}\\[2.8em]
&=\dfrac{1}{(x+1)^2+x^2}-\dfrac{1}{x^2+(x-1)^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-4x}{\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/8.png)
Or,
.
On trouve ainsi que
et donc
que
,
constante réelle.
De plus, par exemple pour
,
et
.
Ainsi,
et
pour tout
.
![\[\begin{array}{ll}
S_n&=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=0}^{n-1}\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\arctan\lp\dfrac{n}{n+1}\rp-\arctan0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/19.png)
Ainsi, pour tout entier non nul
,
,
et comme
,
on a
.
Correction
On pose, pour





![\[f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^3}}{1+\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp^2}
=-\dfrac{-4x}{4x^4+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/7.png)
et
![\[\begin{array}{ll}
g'(x)&=\dfrac{\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}}{1+\lp\dfrac{x}{x+1}\rp^2}
-\dfrac{\dfrac{x-(x-1)}{x^2}}{1+\lp\dfrac{x-1}{x}\rp^2}\\[2.8em]
&=\dfrac{1}{(x+1)^2+x^2}-\dfrac{1}{x^2+(x-1)^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-4x}{\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/8.png)
Or,

On trouve ainsi que



De plus, par exemple pour



Ainsi,



![\[\begin{array}{ll}
S_n&=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=0}^{n-1}\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\arctan\lp\dfrac{n}{n+1}\rp-\arctan0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/19.png)
Ainsi, pour tout entier non nul




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