Fonction de répartition et nouvelle densité

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

Soit

une fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.

Montrer que $\dsp\lim_{a\to+\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=1$ et que $\dsp\lim_{a\to-\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=0$
Montrer que la fonction définie sur $\R$ par l'expression

$g(x)=F(x+1)-F(x)$

est une densité de probabilité.

Correction

On sait que est croissante sur $\R$ , et que $\dsp\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$ .

On utilise la croissance de la fonction pour l'encadrer:

$\forall x\in[a;a+1], \quad F(a)\leq F(x)\leq F(a+1)$
et donc, en intégrant,

$\int_a^{a+1}F(a)dx\leq\int_a^{a+1}F(x)dx\leq\int_a^{a+1}F(a+1)dx$

soit

$F(a)\leq\int_a^{a+1}F(x)dx\leq F(a+1)$

On a de plus par hypothèse sur la limite de ,

$\lim_{a\to+\infty}F(a)=\lim_{a\to+\infty}F(a+1)=1$

et donc, par le théorème des gendarmes,

$\lim_{a\to+\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=1$

À partir du même encadrement, et comme

$\lim_{a\to-\infty}F(a)=\lim_{a\to-\infty}F(a+1)=0$

on a alors aussi

$\lim_{a\to-\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=0$
Il faut vérifier trois points:
- est continue sur $\R$ en tant que fonction de répartition d'une variable à densité, et donc est continue comme composée de fonctions continues.
- est positive car étant une fonction de répartition elle est en particulier croissante, et donc, pour tout réel
  
  $F(x+1)\geq F(x) \Longrightarrow g(x)\geq0$
- il faut enfin que $\int_\R g$ existe (converge) et soit égale à 1.
  
  Soit donc deux réels , alors
  
  $\begin{array}{ll}\dsp\int_a^bg(x)dx &=\dsp\int_a^b\bigl(F(x+1)-F(x)\bigr)dx\\ &=\dsp\int_a^b F(x+1)dx-\int_a^b F(x)dx\enar$
  
  et en effectuant le changement de variable affine dans la première intégrale:
  
  $\int_a^bg(x)dx=\int_{a+1}^{b+1}F(t)dt-\int_a^bF(x)dx$
  
  puis, par la relation de Chasles,
  
  $\int_a^bg(x)dx=\int_b^{b+1}F(x)dx-\int_a^{a+1}F(x)dx$
  
  Enfin, d'après la première question on trouve que, lorsque $a\to-\infty$ et $b\to+\infty$ ,
  
  $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=1-0=1$
Ainsi la fonction définie bien une densité de probabilité.

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