Décomposition en éléments simples
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Décomposer en éléments simples
![$F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1/1.png)
Correction
et donc,
comme
il y a une partie entière de degré nul, donc une constante,
et alors
![\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}
=\dfrac{X^2+2X+5}{(X-1)(X-3)}
=a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{X-2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/3.png)
En faisant tendre
vers
, on trouve
.
En multipliant par
puis en faisant
,
on obtient
,
puis, de même,
En multipliant par
puis en faisant
,
on obtient
.
En résumé, on a
![\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}
=1-\dfrac{8}{X-1}+\dfrac{13}{X-2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/13.png)
Correction
On a![$X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/1.png)
![$\deg\left( X^2+2X+5\rp=\deg\left( X^2-3X+2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/2.png)
![\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}
=\dfrac{X^2+2X+5}{(X-1)(X-3)}
=a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{X-2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/3.png)
En faisant tendre
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/4.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/5.png)
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/6.png)
En multipliant par
![$X-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/7.png)
![$X=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/8.png)
![$b=-8$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/9.png)
![$X-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/10.png)
![$X=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/11.png)
![$c=13$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/12.png)
En résumé, on a
![\[F(X)=\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}
=1-\dfrac{8}{X-1}+\dfrac{13}{X-2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples1_c/13.png)
Tag:Polynôme
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