Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
On considère la série entière
.
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
![$\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1/1.png)
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
Correction
.
On a
et donc le rayon de convergence de la série entière est
.
Pour déterminer sa somme, on décompose la somme: pour tout
,
![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n&=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\\[.7em]
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x\cdot x^n}{n!}-e^x=(x-1)e^x\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/5.png)
Correction
Soir![$u_n=\dfrac{n-1}{n!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/1.png)
![$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/2.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/3.png)
Pour déterminer sa somme, on décompose la somme: pour tout
![$x\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/4.png)
![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n&=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\\[.7em]
&\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x\cdot x^n}{n!}-e^x=(x-1)e^x\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE1_c/5.png)
Tag:Séries entières
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