Série entière presque géométrique

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Séries entièresSéries entières

Énoncé du sujet

Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série $\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$ .

Correction

Si $u_n=\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$ est le terme général de la série, et on a $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|^2\dfrac{2n+1}{2n+3}\to|x|^2$ lorsque $n\to+\infty$ .
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que

.

Soit donc, pour

, $f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$ .
et, $g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, $g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^{2n} =\dsp\sum_{n\geqslant0}\left( x^2\rp^n =\dfrac1{1-x^2}$ .

On peut intégrer directement en $\text{argtanh}$ , ou en décomposant en éléments simples: $\dfrac1{1-x^2}=\dfrac1{(1-x)(1+x)}=\dfrac{1/2}{1-x}+\dfrac{1/2}{1+x}$ .
On trouve alors en intégrant $g(x)=-\dfrac12\ln(1-x)+\dfrac12\ln(1+x) =\dfrac12\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$ , d'où finalement $f(x)=\dfrac1{2x}\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$ ,

Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: $f(x)=1+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}+\dots$ donc .
Avec le résultat trouvé, comme en 0, $\ln(1+x)\sim x$ , donc $f(x)=\dfrac1{2x}\lp\ln(1+x)-\ln(1-x)\rp\sim1$ on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée .

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