Application linéaire ? Noyau et image ?


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2-y^2$; est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?


Correction

Correction

$f$ n'est clairement pas linéaire, à cause des carrés: par exemple, $f(1,0)=1$ et $f(2,0)=4\not=2f(1,0)$.

Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

$(x,y)\in\text{Ker}(f)\iff f(x,y)=x^2-y^2=0\iff x=\pm y$.
Ainsi, le noyau de $f$ est composé des deux droites vectorielles $\text{Ker}(f)=\bigl\{(x,y)\in\R^2\,; x=y\,\text{ ou }\,x=-y\bigr\}$.

Pour l'injectivité, comme $f$ n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition. Ici $f$ n'est clairement pas injective car, par exemple, $f(1,0)=f(-1,0)$.

L'image de $f$ est $\R$ tout entier: $f$ est surjective. En effet, si $z\in\R$, alors, si $z\geqslant 0$, $z=f\lp\sqrt{z},0\rp$, tandis que si $z<0$, $z=f\lp0,\sqrt{-z}\rp$.

Comme $f$ n'est pas injective, elle n'est pas non plus bijective.


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