Matrice d'une application linéaire. Bijective ?


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Soit $f:\la\begin{array}{ccl} \R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x+2y,2x-y+z,x-y-z)\enar\right.$
  1. Monter que $f$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de $\R^3$.
  2. $f$ est-elle bijective ?



Correction

Correction

Soit $f:\la\begin{array}{ccl} \R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x+2y,2x-y+z,x-y-z)\enar\right.$
  1. $f$ est clairement linéaire et sa matrice dans la base canonique de $\R^3$ est:
    \[\lb\begin{array}{rrr}1&2&0 \\ 2&-1&1 \\ 1&-1&-1\enar\rb\]

  2. On calcule le déterminant de la matrice de $f$, en développant, par exemple, suivant la 1ère ligne, $\det(f)=8\not=0$, et donc $f$ est bijective.


Tags:Applications linéairesMatricesDéterminants

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