Calcul de limite en l'infini
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DLDéveloppements limités
Énoncé du sujet
Déterminer la limite en 
de:
de:
Correction
,
avec donc 
et on a alors
![\[\begin{array}{ll}f(x)&=x\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}-x\\[1.4em]
&=\dfrac1u\sqrt{\dfrac{\frac1u-3}{\frac1u+1}}-\dfrac1u\\[1.4em]
&=\dfrac1u\sqrt{\dfrac{1-3u}{1+u}}-\dfrac1u\\[1em]
&=\dfrac1u\lp1-3u\rp^{1/2}\lp1+u\rp^{-1/2}-\dfrac1u
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL-infini_c/3.png)
On peut alors utiliser un développement limité:
![\[\begin{array}{ll}\lp1-3u\rp^{1/2}\lp1+u\rp^{-1/2}
&=\lp1-\dfrac32u+o(u)\rp\,\lp1-\dfrac12u+o(u)\rp\\[1.2em]
&=1-2u+o(u)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL-infini_c/4.png)
puis,
![\[f(x)=\dfrac1u\lp1-2u+o(u)\rp-\dfrac1u
=-2+o(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL-infini_c/5.png)
ce qui montre que
![\[\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{u\to0}f(x)=-2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/DL-infini_c/6.png)
Correction
Pour se ramener à 0, on pose,
avec donc et on a alors
On peut alors utiliser un développement limité:
puis,
ce qui montre que
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