Matrices orthogonales, antisymétriques et valeurs propres


oral HEC, BL - 2022 - Sujet avec préparation
Soit $n\geqslant2$ un entier. Si $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est une matrice, on note $M^T$ sa transposée.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est orthogonale si $MM^T = I_n$.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est symétrique si $M^T = M$.
On dit qu'une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ est antisymétrique si $M^T = -M$.
On confond dans la suite $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ avec $\R^n$ que l'on munit de son produit scalaire canonique noté $\langle\,.\, ,\,. \rangle$ et de la norme associée notée $||\,.\,||$.
  1. Question de cours : rappeler la définition d'une matrice inversible.
    1. Montrer que toute matrice orthogonale est inversible.
    2. Soit $V=\lp\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\enar\rp$. Préciser pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\N$, la matrice $V^k$ est orthogonale.

  2. Soit $A$ une matrice antisymétrique de $\mathcal{M}_n(\R)$. Soit $M=I_n+A$ et $N=I_n-A$.
    1. Soit $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$. Calculer $(X^TAX)^T$ et en déduire la valeur de $X^TAX$.
    2. Montrer que la seule valeur propre possible pour $A$ est 0. Dans quel cas la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
    3. Montrer que les matrices $M$ et $N$ sont inversibles.
    4. Montrer que les matrices $M$ et $N^{-1}$ commutent.
    5. Montrer que la matrice $\Omega = M N^{-1}$ est orthogonale.
    6. $-1$ est-il valeur propre de $\Omega$ ?

  3. Soit $U$ une matrice orthogonale de $\mathcal{M}_n(\R)$ n'admettant pas $-1$ comme valeur propre. Montrer qu'il existe une unique matrice antisymétrique $B\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
    \[U=(I_n+B)(I_n-B)^{-1}\]


    Correction


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