Séries harmonique et avec coefficients binomiaux

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Énoncé du sujet

oral HEC, BL - 2022
Soit

un entier naturel fixé. Pour tout entier naturel $n\in\N^*$ , on pose $u_n=\dfrac1{\binom{n+p}{n}}$

1. Question de cours: rappeler les résultats de cours sur la convergence des séries de Riemann.
2. Pour tout $n\in\N^*$ , on pose $T_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1k$ . Montrer que
  
  $\lim_{nto+\infty}T_n=+\infty$
  
  et
  
  $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{T_n}{\ln(n)}=1$
Étudier la nature de la série de terme général .
On suppose dans toute la suite que est supérieur ou égal à 2 et on pose .
1. Montrer que, pour tout entier ,
  
  $(n+p+2)u_{n+2}=(n+2)u_{n+1}$
2. En vous servant d'une somme télescopique, en déduire une formule pour en fonction de , et .
Déterminer, dans les cas de convergence, la somme de la série de terme général en fonction de .

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation

1. Critère de convergence de Riemann: la série de terme général $\dfrac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$
2. On utilise une comparaison série/intégrale avec la fonction inverse $x\mapsto\dfrac1x$ qui est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ , et donc, pour tout entier , et pour tout $t\in[k;k+1]$ on a
  
  $\dfrac1{k+1}\leqslant\dfrac1t\leqslant\dfrac1k$
  
  d'où, en intégrant terme à terme
  
  $\int_k^{k+1}\dfrac{dt}{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\dfrac{dt}t\leqslant\int_k^{k+1}\dfrac{dt}k$
  
  soit aussi en calculant ces intégrales
  
  $\dfrac1{k+1}\leqslant\ln(k+1)-\ln(k)\leqslant\dfrac1k$
  
  On somme ensuite terme à terme ces inégalités, de jusqu'à , pour faire apparaître la somme
  
  $T_n-1\leqslant\sum_{k=1}^n\ln(k+1)-\ln(k)\leqslant T_n$
  
  et, la somme centrale étant télescopique, on trouve finalement
  
  $T_n-1\leqslant \ln(n)\leqslant T_n$
  
  ou encore, en retournant ces inégalités
  
  $\ln(n)\leqslant T_n\leqslant \ln(n)+1$
  
  D'après le théorème des gendarmes on en déduit la limite recherchée:
  
  $\lim_{n\to+\infty}T_n=+\infty$
  
  et, en divisant ces inégalités par $\ln(n)>0$ , on obtient
  
  $1\leqslant\dfrac{T_n}{\ln(n)}\leqslant1+\dfrac1{\ln(n)}$
  
  d'où la deuxième limite recherchée
  
  $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{T_n}{\ln(n)}=1$
  
  ce qui signifie au passage exactement que, en $+\infty$ ,
  
  $T_n\sim\ln(n)$
On a

$\dsp\binom{n+p}{n}=\dfrac{(n+p)!}{n!\,p!}=\dfrac{(n+p)(n+p-1)\dots(n+1)}{p!}$

et donc ( est un paramètre fixe),

$u_n\leqslant\dfrac{p!}{n^p}$

et ainsi, si $n\leqslant1$ la série de terme général diverge, tandis qu'elle converge pour $p\geqslant2$ par comparaison avec une série de Riemann.
1. $\begin{array}{ll}(n+p+2)u_{n+2}&=\dfrac{n+p+2}{\binom{n+2+p}{n+2}}\\ &=\dfrac{(n+2)!p!(n+p+2)}{(n+p+2)!}\\ &=(n+2)\dfrac{(n+1)!p!}{(n+p+1)!}\\ &=(n+2)u_{n+1} \enar$
2. On a donc, en prenant le rang dans la relation précédente
  
  $(n+p)u_n=nu_{n-1}$
  
  ou encore
  
  $pu_n=nu_{n-1}-nu_n$
  
  Pour que ce soit le terme général d'une suite télescopique, on écrit alors plutôt en retranchant de part et d'autre
  
  $(p-1)u_n=nu_{n-1}-(n+1)u_n$
  
  On a alors,
  
  $\sum_{k=2}^n(p-1)u_k=\dsp\sum_{k=2}^nku_{k-1}-(k+1)u_k$
  
  soit
  
  $\begin{array}{ll} (p-1)\dsp\sum_{k=2}^nu_k&=\dsp\sum_{k=2}^nku_{k-1}-\sum_{k=2}^n(k+1)u_k\\ &=\dsp\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)u_k-\sum_{k=2}^n(k+1)u_k\\ \enar$
  
  ou encore
  
  $(p-1)\left( S_n-u_1\right) = 2u_1-(n+1)u_n$
  
  or $u_1=\dfrac1{p+1}$ et donc
  
  $S_n=-\dfrac{n+1}{p-1}u_n+\dfrac2{(p+1)(p-1)}+\dfrac1{p+1}$
  
  ou encore finalement
  
  $S_n=-\dfrac{n+1}{p-1}u_n+\dfrac1{p+1}$
On a vu que, pour $p\geqslant2$ , la série converge avec

$u_n\leqslant\dfrac{p!}{n^p}$

et donc,

$\begin{array}{ll}\dfrac{n+1}{p-1}u_n&\leqslant\dfrac{p!(n+1)}{(p-1)n^p}\\ &\leqslant\dfrac{p!}{p-1}\tm\dfrac{n}{n^p}\\ &=\dfrac{p!}{p-1}\tm\dfrac1{n^{p-1}} \enar$

qui tend vers 0 pour $p\geqslant2$ .
La somme de terme général tend donc vers $\dfrac1{p-1}$ .

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