Séries harmonique et avec coefficients binomiaux


oral HEC, BL - 2022
Soit $p$ un entier naturel fixé. Pour tout entier naturel $n\in\N^*$, on pose $u_n=\dfrac1{\binom{n+p}{n}}$
    1. Question de cours: rappeler les résultats de cours sur la convergence des séries de Riemann.
    2. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $T_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1k$. Montrer que
      \[\lim_{nto+\infty}T_n=+\infty\]

      et
      \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{T_n}{\ln(n)}=1\]


  2. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$.
  3. On suppose dans toute la suite que $p$ est supérieur ou égal à 2 et on pose $S_n=\dsp\sum_{k=1}^nu_k$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n$,
      \[(n+p+2)u_{n+2}=(n+2)u_{n+1}\]

    2. En vous servant d'une somme télescopique, en déduire une formule pour $S_n$ en fonction de $n$, $p$ et $u_n$.
  4. Déterminer, dans les cas de convergence, la somme de la série de terme général $u_n$ en fonction de $p$.

Correction


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