Système d'équations aux dérivées partielles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Fonctions de plusieurs variablesFonctions de plusieurs variables
Énoncé du sujet
Déterminer toutes les fonctions
de classe
solutions des systèmes suivants :
![\[\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm]
\dfrac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y.
\end{array}\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp/3.png)


![\[\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm]
\dfrac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y.
\end{array}\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp/3.png)
Correction
![\[f(x,y)=ye^x+g(y)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/1.png)
où la fonction
est quelconque (mais dérivable et d'une seule variable, ainsi
est une constante pour la variable
).
Cette expression nous donne alors, dans la seconde relation,
![\[\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^x+g'(y)=e^x+2y\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/5.png)
ce qui nous donne donc
![\[g'(y)=2y\iff g(y)=y^2+k\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/6.png)
où
est un nombre réel quelconque.
Ainsi, on a trouvé que si uen fonction vérifie le système donné, alors
![\[f(x,y)=ye^x+y^2+k\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/8.png)
Réciproquement, on vérifie bien que ces fonctions conviennent, et donc qu'on a bien là toutes les solutions.
Correction
La première relation nous donne![\[f(x,y)=ye^x+g(y)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/1.png)
où la fonction



![\[\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^x+g'(y)=e^x+2y\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/5.png)
ce qui nous donne donc
![\[g'(y)=2y\iff g(y)=y^2+k\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/6.png)
où

![\[f(x,y)=ye^x+y^2+k\]](/Generateur-Devoirs/Colles/FPV/systeme-edp_c/8.png)
Réciproquement, on vérifie bien que ces fonctions conviennent, et donc qu'on a bien là toutes les solutions.
Tag:Fonctions de plusieurs variables
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