Développement en série entière d'une fonction


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{a-x}$, avec $a\not=0$.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.


Correction

Correction

On se ramène au développement en série entière de $\dfrac{1}{1-u}$ en factorisant par $a$ au dénominateur:
\[\dfrac{1}{a-x}=\dfrac{1}{a}\tm\dfrac{1}{1-\frac{x}{a}}\]

Pour $|x/a|<1\iff |x|<|a|$, on obtient
\[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{a-x}&\dsp=\dfrac{1}a\tm\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^n}\\[.8em] &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^{n+1}}\enar\]

Le rayon de convergence de la série obtenue est $|a|$.


Tag:Séries entières

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