Intégrales trigonométriques et famille de fonctions trigonométriques libre


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

  1. Pour $p$ et $q$ des entiers naturels donnés, calculer les intégrales $I(p,q)=\dsp\int_0^{2\pi}\cos(px)\cos(qx)\,dx$, $J(p,q)=\dsp\int_0^{2\pi}\cos(px)\sin(qx)\,dx$, et $K(p,q)=\dsp\int_0^{2\pi}\sin(px)\sin(qx)\,dx$.
  2. Montrer que la famille de fonctions $\Bigl(\cos(px)\Bigr)_{p\in\N}\cup\ \Bigl(\sin(qx)\Bigr)_{q\in\N^*}$ est libre.



Correction

Correction

  1. On pose, pour $(p,q)\in\Z^2$, $E(p,q)=\dsp\int_0^{2\pi}e^{px}e^{qx}\,dx=\int_0^{2\pi}e^{(p+q)x}\,dx$, tel que, si $p\not=-q$, $E(p,q)=\dfrac1{p+q}\Bigr[e^{(p+q)x}\Bigr]_0^{2\pi}=0$, tandis que $E(p,-p)=2\pi$.

    On a aussi en développant les produits d'exponentielles complexes, $E(p,q)=I(p,q)-K(p,q)+i\left( J(p,q)+J(q,p)\rp$, et aussi, en utilisant la parité des fonctions cosinus et sinus: $E(p,-q)=I(p,q)+K(p,q)+i\left( -J(p,q)+J(q,p)\rp$.
    On a donc $I(p,q)=\dfrac12\lp\Re e\lp E(p,q)\rp+\Re e\lp E(p,-q)\rp \rp$,
    et ainsi, si $p=q\not=0$, $I(p,p)=\pi$, $I(0,0)=2\pi$, et sinon $I(p,q)=0$.

    De même, $K(p,q)=\dfrac12\left( \Re e\left(E(p,-q)\right) - \Re e\left( E(p,q)\right)\right)$, et ainsi, si $p=q\not=0$, $K(p,p)=\pi$, sinon, $K(p,q)=0$.

    Enfin, $\Im m\left( E(p,q)\rp-\Im m\left( E(p,-q)\rp=2J(p,q)$, et donc, comme $E(p,q)$ est réel, pour tous $p$ et $q$, $J(p,q)=0$.

  2. On considère une sous famille finie quelconque, c'est-à-dire deux ensembles finis d'entiers: $A\subset \N$ et $B\subset\N^*$ et une combinaison linéaire nulle:
    \[\sum_{p\in A}\lambda_p \cos(px)+\sum_{q\in B}\mu_q \sin(qx)=0\]

    Soit $p_0\in A$, alors, en multipliant par $\cos\left( p_0x\rp$ puis en intégrant entre $0$ et $2\pi$, on obtient:
    \[\begin{array}{ll}&\sum_{p\in A}\lambda_p I\left( p_0,p\rp+\sum_{q\in B}\mu_q J\left( p_o,q\rp=0\\[.6em] \iff&\pi\lambda_{p_0}=0\enar\]

    ainsi, $\lambda_{p_0}=0$ et on obtient ainsi que tous les coefficients $\lambda_p$ sont nécessairement nuls. En multipliant de même par $\sin\left( q_0x\rp$ pour chaque $q_0\in B$ et en intégrant, on obtient que chaque coefficient $\mu_q$ est aussi nul.
    Finalement, on a montré que toute famille extraite est libre, et donc que la famille $\Bigl(\cos(px)\Bigr)_{p\in\N}\cup\ \Bigl(\sin(qx)\Bigr)_{q\in\N^*}$ est libre.


    Remarque: l'application $(f,g)\mapsto\dsp\int_0^{2\pi} f(x)g(x)\,dx$ est un produit scalaire dans l'espace des fonctions continues sur $[0;2\pi]$ (à savoir (re)démontrer).
    Les calculs intégraux du 1. montrent que la famille $\Bigl(\cos(px)\Bigr)_{p\in\N}\cup\ \Bigl(\sin(qx)\Bigr)_{q\in\N^*}$ est orthogonale pour ce produit scalaire et ne contient pas la fonction nulle: c'est donc une famille libre.


Tags:IntégraleEspace vectoriel

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