Tangentes parallèles ou concourantes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Pour
, on considère les fonctions
.
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg1/1.png)
![$f_\lambda:x\mapsto\dfrac{x+\lambda}{x^2+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg1/2.png)
- Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions
sont parallèles.
- Montrer que les tangentes en 1 sont concourantes.
Correction
Correction
On a,![$f_\lambda'(x)=\dfrac{x^2+1-(x+\lambda)2x}{\left( x^2+1\rp^2}
=\dfrac{-x^2-2\lambda x+1}{\left( x^2+1\rp^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg1_c/1.png)
- Pour tout réel
, le coefficient directeur de la tangente en 0 à la courbe de
a pour coefficient directeur
.
Ces tangentes ont donc toutes le même coefficient directeur et sont donc parallèles. - Les tangentes en 1 ont pour équation:
.
En, on a toujours,
, indépendamment de
, et donc toutes ces tangentes sont concourantes en
.
Tag:Dérivée
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