Intégrale trigonométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Calculer $\dsp\int_0^{\frac\pi4} \cos^4\theta\,d\theta$


Correction

Correction

On linéarise $\cos^4$:
\[\cos^4\theta=\lp\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^4
=\dfrac{1}{2^3}\left(
\dfrac{e^{4i\theta}+e^{-4i\theta}}{2}
+4\dfrac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}}{2}
+\dfrac{6}{2}\right)
=\dfrac18\lp\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\rp\]


On calcule alors l'intégrale via une primitive:
\[\int_0^{\frac\pi4} \cos^4\theta\,d\theta
\dfrac18\Bigl[ \dfrac14\sin(4\theta)+2\sin(2\theta)+3\theta\Bigr]_0^{\frac\pi4}
=\dfrac18\left( -\dfrac14+\dfrac{3\pi}{4}\right)
=\dfrac{1}{32}\lp3\pi-1\right)
\]



Tags:IntégraleComplexes

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0