Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- MatricesMatrices
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit l'application linéaire de dans dont la matrice dans leur base
canonique respective est
On appelle la base canonique de et celle de .
On pose
et
On appelle la base canonique de et celle de .
On pose
et
- Montrer que est une base de puis que est une base de .
- Quelle est la matrice de dans ces nouvelles bases?
Correction
Correction
- Dans chaque cas, le nombre de vecteurs est égal
à la dimension de l'espace, et il suffit donc de montrer que ces deux familles sont libres.
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc la famille est libre.
Pour , soit , alors on
et donc, la famille est libre et donc une base de . - Notons la matrice de passage de à
et la matrice de passage de à .
Alors on a :
et
Si est la matrice de dans les nouvelles bases, alors la formule du changement de base nous dit que . Or,
de sorte que
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