Fonction composée avec radical, exponentielle et arcsin


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

  1. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\sqrt{1-x^2}\leq x$?

  2. Etudier la fonctions $x\mapsto \sqrt{1-x^2}\exp\big(\arcsin(x)\big)$.



Correction

Correction

  1. $\sqrt{1-x^2}$ existe seulement pour $-1\leqslant x\leqslant1$, et $\sqrt{1-x^2}\leq x$ ne peut être vraie que pour $x\geqslant0$, donc pour $x\in[0;1]$.
    On peut alors poser $x=\cos\theta$ avec $\theta\in\lb0;\dfrac\pi2\rb$, et alors $\sqrt{1-x^2}\leq x\iff \sin \theta\leqslant \cos \theta$.
    On trouve alors $\theta\in\lb0;\dfrac\pi4\rb$ et donc $x\in\lb\dfrac{\sqrt2}{2};1\rb$ car $\cos$ est décroissante sur $[0;\pi]$.
  2. Pour $x\in D=\lb\dfrac{\sqrt2}{2};1\rb$,
    Remarquons déjà qu'on se limite à $x\in[-1,1]$, pour que $\sqrt{1-x^2}$ ait un sens. Il est aussi clair que l'inégalité n'est pas vérifiée si $x\leq 0$. On se restreint donc à $x\in[0,1]$, et, puisque tout est positif, on a
    $$x\geq \sqrt{1-x^2}\iff x^2\geq 1-x^2\iff 2x^2\geq 1\iff x\geq \frac{\sqrt 2}2.$$

    L'inégalité est donc vérifiée si et seulement si $x\in\left[\frac{\sqrt 2}2,1\right]$.
  3. Remarquons d'abord que la fonction $\arcsin$ est définie sur $[-1,1]$, et que pour ces valeurs de $x$, $\sqrt{1-x^2}$ est également bien définie. Le domaine de définition de $f$ est donc $[-1,1]$. De plus, $f$ est dérivable sur $]-1,1[$, et on a
    \[\begin{array}{lcl} f'(x)&=&\dsp\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin x}+\sqrt{1-x^2}\times\frac 1{\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin x}\\[1.8em] &=&\dsp\lp\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}+1\right)e^{\arcsin x}\\[1.8em] &=&\dsp\frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}e^{\arcsin x}. \enar\]


    La question précédente nous donne le signe de la dérivée, et on en déduit le tableau de variations :
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-1$ && $\dfrac{\sqrt2}{2}$ && 1 \\\hline $f'(x)$ &&$+$&0&$-$&\\\hline &&&&&\\ $f$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &0&&&&0\\\hline \end{tabular}\]

    La courbe représentative de la fonction est:
    \[\psset{xunit=3cm,yunit=2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,2) \psline{->}(-1.3,0)(1.3,0) \psline{->}(0,-.4)(0,2) \psplot[plotpoints=1000]{-1}{1}{1 x 2 exp sub .5 exp 2.718 x arcsin 3.14 mul 180 div exp mul} \rput(-.1,-.15){$0$} \psline(-1,-.05)(-1,.05)\rput(-1,-.15){$-1$} \psline(1,-.05)(1,.05)\rput(1,-.15){$1$} \psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.15,1){$1$} \end{pspicture}\]



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