Décomposition en série de Fourier

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Série de FourierSérie de Fourier

Énoncé du sujet

Étudier la série de Fourier de la fonction

, $2\pi$ -périodique, définie par sa représentation graphique suivante:

$\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-1,-.4)(7.8,1.5) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.1,0)(7.5,0) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-.1)(0,1.5) \psline[linewidth=1.2pt](0,1)(3.14,0)(6.28,1)(9.42,0) \psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.1,-.2){$\pi$} \psline(6.28,.05)(6.28,-.05)\rput(6.2,-.2){$2\pi$} \psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1} \rput(-.2,-.2){0} \psline[linestyle=dashed](6.28,0)(6.28,1)(0,1) \end{pspicture*}$

Correction

est $2\pi$ -périodique et paire, donc

, et

$\begin{array}{ll} a_0&\dsp=\dfrac{2}{2\pi}\int_0^\pi f(x)dx =\dfrac1\pi\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) dx\\[1em] &=\dfrac1\pi\Bigl[-\dfrac{1}{2\pi}x^2+x\Bigr]_0^\pi =\dfrac1\pi\left( -\dfrac12\pi+pi\right) =\dfrac12\enar$

et pour tout entier

$a_n=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(n\omega x)dx$

avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ , et sur $[0;2\pi]$ , $f(x)=-\dfrac1\pi x+1$ , et donc

$\begin{array}{ll} a_n&\dsp=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) \cos(nx)dx =\dfrac{4}{n\pi}\Bigl[\lp-\dfrac1\pi x+1\rp\sin(nx)\Bigr]_0^\pi +\dfrac{4}{n\pi^2}\int_0^\pi \sin(nx)dx \\[1em] &=0-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl[\cos(nx)\Bigr]_0^\pi =-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1em] &=\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr) \end{array}$