Cauchy-Schwarz et une application

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire

Énoncé du sujet

Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz, en précisant le cas d'égalité.
Soit un entier non nul et des réels strictement positifs , , … , tels que $\dsp\sum_{i=1}^nx_i=1$ .
Montrer que $\dsp\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}\geqslant n^2$ . Préciser le cas d'égalité.

Correction

Dans un espace euclidien , l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $\langle x , y \rangle|\leqslant\|x\|.\|y\|$ , avec égalité si et seulement si et sont colinéaires.
Dans $E=\R^n$ avec le produit scalaire canonique, cette inégalité s'écrit, pour $x=\left( x_1, x_2, \dots, x_n\rp\in\R^n$ et $y=\left( y_1, y_2, \dots, y_n\rp\in\R^n$ ,

$\left|\sum_{i=1}^nx_iy_i\right|\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}$
On cherche, naturellement après la question précédente, à utiliser des vecteurs et judicieux. Pour pouvoir faire apparître les sommes $\dsp\sum_{i=1}^nx_i=1$ et $\dsp\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}=1$ , on a tout intérêt à choisir

$x=\lp\sqrt{x_1},\sqrt{x_2},\dots,\sqrt{x_n}\rp$

et

$y=\lp\dfrac1{\sqrt{x_1}}, \dfrac1{\sqrt{x_2}}, \dots , \dfrac1{\sqrt{x_n}}\rp$

On obtient alors, en écrivant l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

$\left|\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i}\dfrac1{\sqrt{x_i}}\right|\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i} \sqrt{\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}}$

$n=\left|\sum_{i=1}^n1\right|\leqslant 1\tm\sqrt{\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}}$

d'où, en élevant au carré

$\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i}\geqslant n^2$

Il y a égalité si et seulement les vecteurs sont colinéaires, soit, s'il existe $k\in\R$ tel que

$\begin{array}{ll}x=ky &\iff \forall1\leqslant i\leqslant n, \sqrt{x_i}=\dfrac{k}{\sqrt{x_i}}\\ &\iff \forall1\leqslant i\leqslant n, x_i=k\enar$

Ainsi toutes les coordonnées sont égales à la même constante . De plus,

$1=\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nk=nk \implies k=\dfrac1n$

d'où l'égalité si et seulement

$x_1=x_2=\dots=\dfrac1n$

Tag:Espaces euclidiens

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