Équation polynomiale de degré 4


Colle de mathématiques

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Résoudre dans $\R$, puis dans $\C$, l'équation: $4x+6x^2+4x^3+x^4=0$.


Correction

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On reconnaît presque les coefficients du binôme de Newton:
\[(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4\]

Ici, on a donc
\[\begin{array}{ll}4x+6x^2+4x^3+x^4=0 &\iff (1+x)^4-1=0 \\[.6em] &\iff (1+x)^4=1 \enar\]

Dans $\R$, on a donc $4x+6x^2+4x^3+x^4=0\iff 1+x=\pm1$ et donc l'équation a deux solutions $x=0$ ou $x=-2$.


Dans $\C$, la formule du binôme reste bien sûr exactes, par contre $(1+x)^4=1$ signifie que $1+x$ est une racine quatrième de l'unité, soit $1+x=e^{2ik\pi/4}=e^{ik\pi/2}$, pour $k\in\N$, $0\leqslant k\leqslant3$, et donc l'équation admet 4 solutions
\[\mathcal{S}=\la0;\, -1+i,\, -2,\, -1-i \ra\]



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