Équation de cercle dans l'espace


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

À tout réel $t$, on associe le point $M(t)$ de coordonnées $x(t)=\cos t+\sqrt3\sin t+1$, $y(t)=\cos t-\sqrt3\sin t+1$ et $z(t)=-2\cos t+1$.
  1. Calculer $x(t)+y(t)+z(t)$.
  2. Calculer $x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)$.
  3. En déduire que $M(t)$ est toujours élément d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.



Correction

Correction

  1. $x(t)+y(t)+z(t)=3$ et donc $M(t)\in P$, avec $P$ le plan d'équation $x+y+z=3$.
  2. $x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)=9$ et donc $M(t)\in S$, avec $S$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2=9$.
  3. $M(t)\in P\cap S$. Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal de $O$, centre de la sphère, sur le plan $P$. On cherche donc $A(x,y,z)\in P$ tel que le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est colinéaire à $\vec{u}(1,1,1)$ (vecteur normal du plan). On trouve A(1,1,1).

    Le rayon $R$ du cercle est, par exemple $R=AM(0)=\sqrt6$.


Tag:Géométrie dans l'espace

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