Famille libre de polynômes de degrés distincts


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.


Correction

Correction

On considère une famille de $n$ polynômes $P_1$, $P_2$, … , $P_n$ de degrés respectifs $d_1$, $d_2$, … , $d_n$.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants: $d_1<d_2<\dots<d_n$.

Soit maintenant $\lambda_1$, $\lambda_2$, … , $\lambda_n$ tels que
\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]

Cette relation se réécrit
\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]

Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus $d_{n-1}$ et, si $\lambda_n\not=0$, $d_n=\text{deg}\left( \lambda_nP_n\rp>d_{n-1}$ ce qui est impossible. On a donc necéssairement $\lambda_n=0$.
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement $\lambda_{n-1}=\lambda_{n-1}=\dots=\lambda_1=0$, ce qui montre que la famille est libre.


Tags:Espace vectorielPolynôme

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