Famille libre de polynômes de degrés distincts
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Correction
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants: .
Soit maintenant , , … , tels que
Cette relation se réécrit
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus et, si , ce qui est impossible. On a donc necéssairement .
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement , ce qui montre que la famille est libre.
Correction
On considère une famille de polynômes , , … , de degrés respectifs , , … , .Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants: .
Soit maintenant , , … , tels que
Cette relation se réécrit
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus et, si , ce qui est impossible. On a donc necéssairement .
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement , ce qui montre que la famille est libre.
Tags:Espace vectorielPolynôme
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