Intersection de courbes: cercle et droite
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie plane cartésienneGéométrie plane cartésienne, géométrie et coordonnées dans le plan
Énoncé du sujet
Déterminer l'intersection des courbes
et
.
![$\mathcal{C}_1: x^2+y^2-4x+2y-4=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2/1.png)
![$\mathcal{C}_2: x+3y-2=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2/2.png)
Correction
est le cercle de rayon
et de centre
.
On cherche donc l'intersection de ce cercle et de la droite
.
![\[\begin{array}{ll}
M(x;y)\in\mathcal{C}_1\cap\mathcal{C}_2
&\iff
\la\begin{array}{ll}
x^2+y^2-4x+2y-4=0\\
x+3y-2=0
\enar\right. \\[1.2em]
&\iff
\la\begin{array}{ll}
(-3y+2)^2+y^2-4(-3y+2)+2y-4=10y^2+2y-8=0\\
x=-3y+2
\enar\right.\\
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/5.png)
On trouve donc 2 points d'intersection
et alors
,
et
et
.
Correction
![$\mathcal{C}_1: (x-2)^2+(y+1)^2=3^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/1.png)
![$r=3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/2.png)
![$A(2;-1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/3.png)
On cherche donc l'intersection de ce cercle et de la droite
![$\mathcal{C}_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/4.png)
![\[\begin{array}{ll}
M(x;y)\in\mathcal{C}_1\cap\mathcal{C}_2
&\iff
\la\begin{array}{ll}
x^2+y^2-4x+2y-4=0\\
x+3y-2=0
\enar\right. \\[1.2em]
&\iff
\la\begin{array}{ll}
(-3y+2)^2+y^2-4(-3y+2)+2y-4=10y^2+2y-8=0\\
x=-3y+2
\enar\right.\\
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/5.png)
On trouve donc 2 points d'intersection
![$y=-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/6.png)
![$x=5$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/7.png)
![$y=-\dfrac45$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/8.png)
![$x=\dfrac{22}{5}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex2_c/9.png)
Tag:Géométrie plane cartésienne
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