Étude de la convergence de la série avec un paramètre
Colle de mathématiques
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Soit, pour
et
, la suite
.



- Étudier la convergence de la série
lorsque
.
- Lorsque
, prouver que, pour
assez grand,
.
Que dire de la nature de la série?
Correction
Correction
- On cherche à utiliser la règle de d'Alembert et on calcule donc
On obtient donc queconverge vers
et donc, d'après la règle de d'Alembert, si
, la série est divergente. Si
, la série est convergente.
Pourle théorème de d'Alembert ne permet pas de conclure directement.
- On pousse un peu plus loin le développement précédent. On obtient
En particulier, pourassez grand,
, et donc la suite
est croissante.
Elle ne converge donc pas vers zéro, et la sérieest divergente.
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