Étude de la convergence de la série avec un paramètre
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit, pour et , la suite .
- Étudier la convergence de la série lorsque .
- Lorsque , prouver que, pour assez grand,
.
Que dire de la nature de la série ?
Correction
Correction
- On cherche à utiliser la règle de d'Alembert et on calcule donc
On obtient donc que converge vers et donc, d'après la règle de d'Alembert, si , la série est divergente. Si , la série est convergente.
Pour le théorème de d'Alembert ne permet pas de conclure directement.
- On pousse un peu plus loin le développement précédent. On obtient
En particulier, pour assez grand, , et donc la suite est croissante.
Elle ne converge donc pas vers zéro, et la série est divergente.
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