Étude de la convergence de la série avec un paramètre
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit, pour
et
, la suite
.
![$n\geq 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg10/1.png)
![$a>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg10/2.png)
![$u_n=\dfrac{a^n n!}{n^n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg10/3.png)
- Étudier la convergence de la série
lorsque
.
- Lorsque
, prouver que, pour
assez grand,
.
Que dire de la nature de la série?
Correction
Correction
- On cherche à utiliser la règle de d'Alembert et on calcule donc
On obtient donc queconverge vers
et donc, d'après la règle de d'Alembert, si
, la série est divergente. Si
, la série est convergente.
Pourle théorème de d'Alembert ne permet pas de conclure directement.
- On pousse un peu plus loin le développement précédent. On obtient
En particulier, pourassez grand,
, et donc la suite
est croissante.
Elle ne converge donc pas vers zéro, et la sérieest divergente.
Tags:SériesDL
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