Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants


Colle de mathématiques

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Résoudre: $y'-2y=\cos x+2\sin x$


Correction

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L'équation homogène est $y'-2y=0$ et a pour solutions les fonctions $x\mapsto ke^{2x}$, $k\in\R$.
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme $y(x)=A\cos x+B\sin x$, $(A,B)\in\R^2$.
On a alors, $y'-2y=(B-2A)\cos x-(A+2B)\sin x=\cos x+2\sin x$, soit $\la\begin{array}{ll} -2A+B=1\\A+2B=-2\enar\right.$.
On trouve alors $A=-\dfrac45$ et $B=-\dfrac35$, soit la solution particulière $y(x)=-\dfrac45\cos x-\dfrac35\sin x$.
Les solutions générales sont donc $x\mapsto ke^{2x}-\dfrac45\cos x-\dfrac35\sin x$, $k\in\R$.


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