Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre:
![$y'-2y=\cos x+2\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3/1.png)
Correction
et a pour solutions
les fonctions
,
.
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme
,
.
On a alors,
,
soit
.
On trouve alors
et
, soit la solution particulière
.
Les solutions générales sont donc
,
.
Correction
L'équation homogène est![$y'-2y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/1.png)
![$x\mapsto ke^{2x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/2.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/3.png)
On peut ensuite chercher une solution particulière sous la forme
![$y(x)=A\cos x+B\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/4.png)
![$(A,B)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/5.png)
On a alors,
![$y'-2y=(B-2A)\cos x-(A+2B)\sin x=\cos x+2\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/6.png)
![$\la\begin{array}{ll} -2A+B=1\\A+2B=-2\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/7.png)
On trouve alors
![$A=-\dfrac45$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/8.png)
![$B=-\dfrac35$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/9.png)
![$y(x)=-\dfrac45\cos x-\dfrac35\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/10.png)
Les solutions générales sont donc
![$x\mapsto ke^{2x}-\dfrac45\cos x-\dfrac35\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/11.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex3_c/12.png)
Tag:Équation différentielle
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