Inégalité à démontrer
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Montrer que, pour tous réels 
et 
tels ques 
, on a
![\[x<\dfrac{y-x}{\ln y-\ln x}<y\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2/4.png)
et tels ques , on a
Correction
est continue et dérivable sur ![$[x;y]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2_c/2.png)
pour
tous couples 
, et donc, d'après le théorème des accroissements finis,
il existe ![$c\in]x;y[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2_c/4.png)
tel que
![\[\ln y-\ln x=(y-x)\ln'(c)=(y-x)\dfrac{1}{c}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2_c/5.png)
soit aussi
![\[c=\dfrac{y-x}{\ln y-\ln x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2_c/6.png)
or![$c\in]x;y[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exIAF2_c/7.png)
, ce qui donne bien directement l'inégalité souhaitée.
Correction
La fonction est continue et dérivable sur pour
tous couples , et donc, d'après le théorème des accroissements finis,
il existe tel que
soit aussi
or
, ce qui donne bien directement l'inégalité souhaitée.
Tag:Rolle - AF
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