Application linéaire avec des polynômes de degré 2


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Montrer que $f:\la\begin{array}{ll}\R_2[X]\to \R_2[X] \\[.4em] P\mapsto P-XP'\enar\right.$ est une application linéaire.
Déterminer son noyau et son image.


Correction

Correction

Soit $P,Q\in\R[X]$ et $\lambda\in\R$. Alors
\[\begin{array}{rcl} f(\lambda P+Q)&=&(\lambda P+Q)-X(\lambda P+Q)'\\ &=&\lambda P+Q-X(\lambda P'+Q')\\ &=&\lambda (P-XP')+Q-XQ'\\ &=&\lambda f(P)+ f(Q). \enar\]

Ainsi, $f$ est bien une application linéaire.

On s'intéresse au noyau de $f$, donc aux polynômes $P\in\R_2[X]$ tels que $P\in\ker(f)\iff P-XP'=0$.
Soit donc $P\in\R_2[X]\iff P(X)=aX^2+bX+c$, alors
\[f(P)=P-XP'\]

c'est-à-dire
\[\begin{array}{ll}f(P)(X)&=aX^2+bX+c-X\lp2aX+b\rp\\&=-aX^2+c\enar\]

et ainsi,
\[f(P)=0\iff a=c=0\]

Les polynômes du noyau de $f$ sont donc de la forme $P(X)=bX$. En notant le polynôme $P_1(X)=X$, on a donc $\text{Ker}(f)=\text{Vect}(P_1)$.


On cherche maintenant l'image de $f$. D'après le théorème du rang,
\[\text{rg}(f)+\text{Im(Ker}(f)) = \text{dim}\lp\R_2[X]\rp=3\]

et donc le rang de $f$ vaut 2.
En notant $P_0(X)=1$, $P_1(X)=X$ et $P_2(X)=X^2$ la base canonique de $\R_2[X]$, on sait que la famille $\left( f(P_0), f(P_1), f(P_2)\rp$ est génératrice de l'image de $f$, et qu'elle est forcément liée puisque cette image est de dimension 2.
En effet on sait ici que $P_1$ est dans le noyau de $f$...
Il suffit donc d'extraire une famille libre de deux éléments, $\left( f(P_0), f(P_2)\rp$, avec
\[f(P_0)(X)=P_0-XP_0'=1-X\tm0=1=P_0\]

et
\[f(P_2)(X)=P_2-XP_2'=x^2-X(2X)=-X^2=-P_2\]

Ainsi,
\[\text{Im}(f)=\text{Vect}\left( P_0,P_2\rp\]



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