Rayon de convergence

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\dsp\sum_{n\geq 1} \frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n$

Correction

Soit $a_n= \dfrac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}$ , alors

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)}{4\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}\to \frac18$

et, d'après la règle de d'Alembert, le rayon de convergence de la série est donc égal à 8.

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