Rayon de convergence

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Séries entièresSéries entières

Énoncé du sujet

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\dsp\sum_n\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n\cdot 2^n}$

Correction

Soit $u_n=\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n.2^n}$ , alors

$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{ n |1+i| |z|^3 }{2(n+1)}\to \frac{\sqrt{2} |z|^3}{2}=\frac{|z|^3}{\sqrt2}$

Ainsi, si $|z|^3<\sqrt{2}$ , la série de terme général

est convergente d'après le critère de d'Alembert, alors qu'elle est divergente si $|z|^3>\sqrt{2}$ .

On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est $2^{1/6}=\sqrt[6]{2}$ .

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