Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Soient
et
des réels distincts.
On pose, pour
,
![\[\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex3/4.png)
![$E=\R_n[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex3/1.png)


![\[\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex3/4.png)
- Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur
.
- Déterminer une base orthonormée de
.
- Déterminer la distance de
au sous-espace
Correction
Correction
- Il est clair qu'on définit ainsi une forme bilinéaire symétrique et que
. De plus, si
, alors
Or, un polynôme de degré au plusayant au moins
racines est nécessairement le polynôme nul.
Doncet la forme bilinéaire est définie positive : c'est un produit scalaire.
- Contrairement à ce que l'on fait souvent, ici, utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base
orthonormale n'est pas la meilleure idée.
On peut plutôt raisonner en terme de racines et voir que si
s'annule en beaucoup de
, alors
sera souvent nul. On va donc définir, pour
Pour, on a
La famille est donc orthogonale. On l'orthonormalise finalement en remarquant que
et on pose donc
est une famille orthonormale de
éléments dans un espace de dimension
. C'est une base de
.
- On va trouver un vecteur normal à l'hyperplan
. C'est très facile en regardant la définition de
, car si on pose
, on a
est donc un vecteur normal à
.
Par une formule du cours (très facile à retrouver par un dessin), on en déduit que la distance deà
est
Tags:Espaces euclidiensPolynôme
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