Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soient $E=\R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$,
\[\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).\]

  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} P\in E;\ \dsp\sum_{k=0}^n P(a_k)=0\ra.$



Correction

Correction

  1. Il est clair qu'on définit ainsi une forme bilinéaire symétrique et que $\langle P,P\rangle\geq 0$. De plus, si $\langle P,P\rangle=0$, alors
    \[\sum_{k=0}^n P^2(a_k)=0\implies P(a_k)=0 \text{ pour } k=1,\dots,n\]

    Or, un polynôme de degré au plus $n$ ayant au moins $n+1$ racines est nécessairement le polynôme nul.
    Donc $P=0$ et la forme bilinéaire est définie positive : c'est un produit scalaire.
  2. Contrairement à ce que l'on fait souvent, ici, utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormale n'est pas la meilleure idée. On peut plutôt raisonner en terme de racines et voir que si $P$ s'annule en beaucoup de $a_k$, alors $P(a_k)Q(a_k)$ sera souvent nul. On va donc définir, pour $k=0,\dots,n$
    \[P_k=\prod_{j\neq k}(X-a_j)\]

    Pour $k\neq l$, on a
    \[\langle P_k,P_l\rangle=P_k(a_k)P_l(a_k)=0\]

    La famille est donc orthogonale. On l'orthonormalise finalement en remarquant que
    \[\|P_k\|^2=\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)^2\]

    et on pose donc
    \[Q_k=\frac{P_k}{\dsp\prod_{j\neq k}(a_k-a_j)}\]

    $(Q_0,\dots,Q_n)$ est une famille orthonormale de $n+1$ éléments dans un espace de dimension $n+1$. C'est une base de $\R_n[X]$.
  3. On va trouver un vecteur normal à l'hyperplan $H$. C'est très facile en regardant la définition de $H$, car si on pose $R=1$, on a
    \[\langle P,R\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)\]

    $R$ est donc un vecteur normal à $H$.
    Par une formule du cours (très facile à retrouver par un dessin), on en déduit que la distance de $Q$ à $H$ est
    \[\frac{\langle Q,R\rangle}{\|R\|}=\dfrac{\dsp\sum_{k=0}^n Q(a_k)}{\sqrt{n+1}}.\]



Tags:Espaces euclidiensPolynôme

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