Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec des cartes


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

  1. Exprimer la somme de la série $\dsp\sum_{k\geqslant0}kx^k$.
  2. Je tire une carte dans un jeu de 32 cartes: si c'est un as j'ai gagné, sinon je replace la carte et je recommence. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués avant de gagner. Exprimer $P(X=k)$ pour $k\in\N^*$.
    Combien de cartes vais-je tirer en moyenne.
  3. Je tire successivement 10 cartes comme précédemment, en les remettant à chaque fois dans le paquet, et indépendamment de la carte tirée (as ou non).
    On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'as tirés. Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ? Combien d'as vais-je tirer en moyenne ?



Correction

Correction

  1. Pour $|x|<1$, on pose
    $f(x)=\dsp\sum_{k\geqslant0}kx^k$
    qui est une série absolument convergente. On a aussi
    $f(x)=x\dsp\sum_{k\geqslant0}kx^{k-1}=xg(x)$
    avec $g(x)$ qui est la dérivée d'une somme géométrique.
    Plus précisément, on a $g(x)=G'(x)$ avec
    $G(x)=\dsp\sum_{k\geqslant0}x^k$.
    $G(x)$ est une série géométrique, $G(x)=\dfrac1{1-x}$ et donc $G'(x)=\dfrac1{(1-x)^2}=g(x)$. On trouve ainsi, $f(x)=xg(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}$.
  2. La probabilité de tirer un as est $p=\dfrac4{32}=\dfrac18$. $X$ est égale au rang du 1er succès: $X$ suit donc la loi géométrique de paramètre $p$ et alors $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}=\dfrac{7^{k-1}}{8^k}$. Le nombre de cartes tirées en moyenne est l'espérance de $X$, soit
    \[E(X)=\sum_{k>0}kP(X=k) =\sum_{k>0}kp(1-p)^{k-1}\]

    soit, en utilisant la question précédente avec $x=1-p$,
    \[\begin{array}{ll} E(X)&=\dfrac{p}{1-p}\dsp\sum_{k>0}k(1-p)^k\\ &=\dfrac{p}{1-p}\tm\dfrac{1-p}{\lp1-(1-p)\rp^2}\\[1em] &=\dfrac1p\enar\]


    Ici, avec $p=\dfrac18$, et on a donc $E(X)=8$: en moyenne il faut tirer 8 cartes pour tomber sur un as.
  3. $Y$ est égale au nombre de succès sur les 10 tirages: $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac18$. La probabilité de tirer 2 as est donc $P(Y=2)=\dsp\binom{10}2p^2(1-p)^8$. Le nombre d'as tirés en moyenne est l'espérance: $E(Y)=np=\dfrac{10}8=1,25$ as tirés en moyenne toutes les 10 cartes.


Tag:Variables aléatoires discrètes

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