Formule des probabilités totales


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Énoncer et démontrer la formule des probabilités totales.


Correction

Correction

Pour trois événements, on peut représenter la situation de la façon suivante:
\[\psset{arrowsize=7pt,xunit=.8cm,yunit=.7cm} \definecolor{gray1}{gray}{0.85} \definecolor{gray2}{gray}{0.67} \definecolor{gray3}{gray}{0.55} \begin{pspicture}(-2.2,-3.2)(3,3.5) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray2](0,0)(2,3) \begin{psclip}{\psellipse(0,0)(2,3)} \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray1](0,3)(3,2.3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray3](0,-3)(3,2.3) \end{psclip} \psellipse(0,0)(2,3) \psellipse[fillstyle=vlines](0.5,0.2)(1,1.8) \rput(-1.3,2.7){\large$\Omega$} \rput(-1.45,1.4){$A_1$} \rput(-1.65,0){$A_2$} \rput(-1.45,-1.4){$A_3$} \psline{<-}(1.3,1.3)(2.,2.6)\rput(2.2,2.7){$B$} \end{pspicture}\]

et
\[P(B)=P\left( B\cap A_1\rp+P\left( B\cap A_2\rp+P\left( B\cap A_3\rp\]

Plus généralement, pour $n$ événements $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ qui forment une partition de l'univers (ou un système complet), c'est-à-dire deux à deux disjoints et dont la réunion est l'univers, on a, pour tout événement $B$,

\[\begin{array}{ll}P(B)=P\left( B\cap A_1\rp+P\left( B\cap A_2\rp+\dots+P\left( B\cap A_n\rp \\ =\dsp\sum_{i=1}^n P\left( B\cap A_i\rp\enar\]

et donc, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle:
\[P(B)=\sum_{i=1}^n P\left( A_i\rp\times P_{A_i}\left( B\rp\]




La démonstration est immédiate car
\[B=\left( B\cap A_1\right) \cup \left( B\cap A_2\right) \cup \dots \cup \left( B\cap A_n\right)\]

et que les événements $\left( B\cap A_i\rp$ sont deux à deux disjoints.


Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance

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