Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Montrer que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$ converge, puis, en utilisant le changement de variables , montrer que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=~0$ .
Soit $a\geqslant0$ . Calculer $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt$ .

Correction

La fonction $t\mapsto \dfrac{\ln t}{a^2+t^2}$ est continue sur $]0,+\infty[$ . Au voisinage de 0, on a l'équivalence

$\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}\sim \frac{\ln t}{a^2}$

et on sait que $\ln t$ est intégrable en 0 (par exemple car $\ln t=o\lp1/\sqrt{t}\rp$ et que $t\mapsto1/\sqrt{t}$ est une intégrale de Riemann intégrable en 0, ou encore avec une primitive $t\mapsto t\ln t-t$ de $\ln t$ ). De même, au voisinage de $+\infty$ , on a

$\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}=o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right)$

On en déduit que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}$ est convergente. Le changement de variables , qui est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement décroissant, donne ensuite

$\begin{array}{lcl} I&=&\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\[1.4em] &=&-\dsp\int_0^{+\infty}\frac{-\ln u}{1+\frac{1}{u^2}}\frac{-1}{u^2}du\\[1.4em] &=&-\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{1+u^2}du=-I\enar$

On en déduit que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0$ .
On cherche bien sûr à se ramener à l'intégrale de la fonction précédente. Avec le changement de variables , on obtient

$\begin{array}{l} \dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln t}{a^2+t^2}dt =\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln au}{a^2+a^2u^2}adu\\[1.5em] \dsp\qquad=\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln a}{a(1+u^2)}du +\int_0^{+\infty}\frac{\ln u}{a(1+u^2)}du.\enar$

De même que dans le calcul de la question précédente, et le fait qu'une primitive de $\dfrac{1}{1+u^2}$ est $\arctan u$ , on arrive alors

$\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt=\frac{\pi\ln a}{2a}$

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