Somme trigo & binomiale (ter)


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Calculer $\cos a+\lp\begin{array}{c}n\\1\enar\rp\cos(a+b)+\lp\begin{array}{c}n\\2\enar\rp\cos(a+2b)+\dots
+\lp\begin{array}{c}n\\n\enar\rp\cos(a+nb)$


Correction

Correction


\[\begin{array}{ll}
\cos a+\lp\begin{array}{c}n\\1\enar\rp\cos(a+b)+&\lp\begin{array}{c}n\\2\enar\rp\cos(a+2b)+\dots
    +\lp\begin{array}{c}n\\n\enar\rp\cos(a+nb) \\[1em]
&=\dsp\sum_{k=1}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\rp\cos\lp a+kb\rp\\[2em]
&=\dsp\Re e\lp\sum_{k=1}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\right) e^{i(a+kb)}\right)\\[2em]
&=\dsp\Re e\left( e^{ia}\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\enar\right) e^{ikb}\right)\\[2em]
&=\Re e\left( e^{ia}\left(1+e^{ib}\rp^n \rp\\[2em]
&=\Re e\left( e^{ia}e^{inb/2}\left( e^{-ib/2}+e^{ib/2}\rp^n\rp\\[2em]
&=\Re e\left( e^{i\left( a+nb/2\right)}\left( 2\cos(b/2)\right)^n\right)\\[2em]
&=2^n\cos\left( a+nb/2\rp\cos^n(b/2)\\[2em]
\enar\]



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